光电工程  2018, Vol. 45 Issue (3): 170704      DOI: 10.12086/oee.2018.170704     
大口径压电倾斜镜模型辨识与控制
黄林海1,2 , 凡木文1,2 , 周睿1,2 , 张浩田1,2 , 黄奎1,2 , 胡诗杰1,2 , 罗曦1,2 , 李新阳1,2     
1. 中国科学院自适应光学重点实验室,四川 成都 610209;
2. 中国科学院光电技术研究所,四川 成都 610209
摘要:本文提出了一种基于随机梯度优化算法的倾斜镜模型辨识方法,实现对大口径压电倾斜镜的复杂频率响应规律的辨识与控制带宽提高。文章介绍了压电倾斜镜原理和数学模型,描述了随机梯度优化算法在模型辨识的应用过程,并通过实验验证的方式检验了算法辨识模型的准确性以及在提高系统控制带宽方面的能力;最后,利用随机梯度下降算法本文还开展了对抖动输入频谱的辨识,结合倾斜镜模型的辨识结果,获得了对特定频谱区域更高抑制能力的控制效果。
关键词倾斜镜    结构谐振    压电陶瓷    大口径    
System identification and control for large aperture fast-steering mirror driven by PZT
Huang Linhai1,2, Fan Muwen1,2, Zhou Rui1,2, Zhang Haotian1,2, Huang Kui1,2, Hu Shijie1,2, Luo Xi1,2, Li Xinyang1,2     
1. Key Laboratory of Adaptive Optics, Chinese Academy of Sciences, Chengdu, Sichuan 610209, China;
2. Institute of Optics and Electronics, Chinese Academy of Sciences, Chengdu, Sichuan 610209, China
Abstract: Novel system identification for large aperture fast-steering mirror (FSM) is presented in this paper. Using the stochastic parallel gradient descent method (SPGD), the new system identification method is able to identify the complex piezoelectric fast-steering mirror (PZT-FSM) model exactly and greatly improve the correction effect. The principle and mathematical model of the PZT-FSM are stated briefly in the paper firstly. Then the use process of the SPGD algorithm in the system identification for the large aperture PZT-FSM is presented. By using the identified model, the validity and feasibility of the proposed approach is confirmed by our close-loop experiments. To expand the usage of the new method, the input jitter spectrum is also identified using the similar method, which enables us to get a higher correction effect for the special frequency region.
Keywords: fast steering mirror    structural resonance    PZT    large aperture    

1 引言

压电式(压电)快速反射镜具备上数百赫兹甚至更高的谐振频率和更高的执行精度,被广泛地应用于快速光轴控制系统中,提高了激光通讯、天文成像和生物医学成像等系统的探测精度。随着望远镜口径的不断增大,一方面,望远镜系统对光轴控制精度的要求在不断提高,系统期望倾斜镜能对更高频率的抖动进行抑制;另一方面,望远镜系统期望使用更大口径的快速反射镜,从而减少系统光路的复杂性,提高系统的光能利用率。

然而,口径越大,倾斜镜自身的第一阶谐振频率越低,如果不采用必要的倾斜镜谐振抑制方法,倾斜镜系统是无法正常工作的,这一点国内外相关学者已经开展了许多的研究[1-4]。文献研究结果表明,通过对倾斜镜的谐振控制,可以获得更高的控制带宽。其中,文献[1]和[2]的主要针对音圈电机倾斜镜实现谐振抑制,而文献[3-4]则是针对压电倾斜镜实现的谐振抑制。

不同于上述通过抑制谐振提高控制带宽,文献[5-10]等则通过采用自适应滤波控制方法提高控制带宽,并且该方法实现了对特定谐振频率的高抑制控制效果。文献研究结果表明,通过采用自适应滤波控制算法,可以实现对输入谐振信号的高效抑制,控制效果明显优于传统的PID控制方法。

上述两种提高控制带宽的解决思路虽然存在差异,但是两种方法却存在一个共同的问题,即对控制对象模型的辨识。对第一种解决思路而言,只有准确的模型辨识才能实现对倾斜镜谐振的抑制,对应于第二种解决思路,准确的模型辨识是控制方法工作的前提。文献[2]研究结果表明,控制对象模型辨识准确与否不仅决定了系统控制效果的好坏,也是系统能否稳定工作的重要条件,因此,准确的控制对象模型辨识是提高控制带宽的关键。

与小口径倾斜镜和基于音圈电机的倾斜镜不同,大口径压电倾斜镜具有更多的机械谐振峰,并且谐振峰之间高频段通常存在多个相互关联谐振频率,因而具有更为复杂的谐振分布曲线,传统的低阶系统模型拟合辨识方法,如Levy等提出的模型辨识算法,难以获得准确的系统模型[11-14]。本文采用多个双二阶滤波器,利用随机梯度优化算法确定优化多个双二阶滤波器的系统,从而准确获取大口径压电倾斜镜对象模型。

2 压电倾斜镜的机械谐振原理及数学模型

压电倾斜镜与音圈电机等倾斜镜结构相似,一般由底座、镜面、压电驱动器和镜架组成。压电倾斜镜可以等效为支撑在一个弹性结构上的刚体[3]。这个弹性系统存在多个谐振模式,但对倾斜镜控制稳定性影响最大的是机械谐振频率最低的一个,其谐振圆频率:

$ \omega = \frac{{8\alpha }}{{{D^2}}} \cdot {\left( {\frac{{SL}}{{\theta h}}} \right)^{\frac{1}{2}}}, $ (1)

其中:ω=2πf,时间频率f的单位为赫兹。可以看出,谐振频率主要与镜面直径D、镜面厚度h、镜面的倾斜角θ、驱动器间距L、驱动器面积S以及所用材料的特性常数α等有关。从式(1)不难看到,镜面直径越大谐振频率越低,对控制稳定性和控制带宽的影响就很大。

文献[3]指出,在谐振频率处,倾斜镜的实际响应量比相应的控制信号放大或缩小很多,在频率响应特性上存在的每一对峰谷值,对应倾斜镜的一个机械谐振模式,式(1)仅分析了最低频率的谐振模式。对频率响应特性的测量和分析表明,倾斜镜的每一个机械谐振模式都可以近似看作一个双二阶振荡模型,第k个谐振模式的传递函数为

$ {F_k}(s) = \frac{{{s^2} + 2{\varepsilon _{{\rm{z}}k}}{\omega _{{\rm{z}}k}}s + \omega _{{\rm{z}}k}^2}}{{{s^2} + 2{\varepsilon _{{\rm{p}}k}}{\omega _{{\rm{p}}k}}s + \omega _{{\rm{p}}k}^2}}, $ (2)

其中:$ k = 1, 2, \ldots, L $$ s = {\rm{j}}\omega $是Laplace算子,$ {\varepsilon _{{\rm{z}}k}} $$ {\varepsilon _{{\rm{p}}k}} $分别是传递函数零点和极点的振荡因子,$ {\omega _{{\rm{z}}k}} $${\omega _{{\rm{p}}k}} $分别是传递函数零点和极点的振荡圆频率,其对应机械谐振的峰谷值频率。振荡因子越小,机械谐振峰谷值越大,式(2)分母二次项的极小值对应谐振峰值;分子二次项的极小值对应谐振谷值。整个倾斜镜的振荡特性是各个振荡模式的综合效果:

$ {F_{{\rm{FSM}}}}(s) = {F_{\rm{1}}}(s){F_{\rm{2}}}(s) \ldots {F_M}(s), $ (3)

其中:M是谐振模式的个数。由此要准确地建立压电倾斜镜模型实质上就是找到最优的系统模型参数,对此采用了在无波前自适应光学系统中常用的随机梯度优化算法(stochastic parallel gradient descent,SPGD)。

3 随机梯度下降算法

SPGD算法是一种广泛应用于无波前传感自适应光学技术的盲优化算法,其在激光相干合成、激光光束净化中校正光束像差的能力,已经被大量的理论和实验验证[15-17]

SPGD算法使用的关键是找到合适的性能指标J,而后对该性能指标J进行优化。在压电倾斜镜的模型识别工作中,J被定义为计算模型与实测模型之差的均方根值:

$ J = J({\boldsymbol{\varepsilon }}, {\boldsymbol{\omega }}), $ (4)

其中:$ {\boldsymbol{\varepsilon }} = \{ {\varepsilon _1}, {\varepsilon _2}, \ldots, {\varepsilon _N}\} $是传递函数零点和极点的振荡因子,$ {\boldsymbol{\omega }} = \{ {\omega _1}, {\omega _2}, \ldots, {\omega _N}\} $是传递函数零点和极点的振荡圆频率,N=2M。基于SPGD算法的压电倾斜镜模型辨识迭代步骤可表示为

1) 生成一组微小扰动系数

$ \Delta {\boldsymbol{\varepsilon }} = \{ \Delta {\varepsilon _1}, \Delta {\varepsilon _2}, \ldots, \Delta {\varepsilon _N}\}, $

$ \Delta {\boldsymbol{\omega }} = \{ \Delta {\omega _1}, \Delta {\omega _2}, \ldots, \Delta {\omega _N}\}。$

其中:

$ {\rm{|}}\Delta {\varepsilon _1}| = |\Delta {\varepsilon _2}| = \ldots = |\Delta {\varepsilon _N}|, $
$ {\rm{|}}\Delta {\omega _1}| = |\Delta {\omega _2}| = \ldots = |\Delta {\omega _N}|。$

2) 将$ {{\boldsymbol{\varepsilon }}_ + } = {\boldsymbol{\varepsilon }} + \Delta {\boldsymbol{\varepsilon }} $$ {{\boldsymbol{\omega }}_ + } = {\boldsymbol{\omega }} + \Delta {\boldsymbol{\omega }} $用式(3)生成新的压电倾斜镜模型,而后利用生成的模型评估出不同频率位置系统的响应效果,并与真实测量的系统响应作差,得到性能指标$ {J_ + } = {J_ + }({{\boldsymbol{\varepsilon }}_ + }, {{\boldsymbol{\omega }}_ + }) $;再利用$ {{\boldsymbol{\varepsilon }}_-} = {\boldsymbol{\varepsilon }}-\Delta {\boldsymbol{\varepsilon }} $$ {{\boldsymbol{\omega }}_-} = {\boldsymbol{\omega }}-\Delta {\boldsymbol{\omega }} $得到性能指标$ {J_-} = {J_-}({{\boldsymbol{\varepsilon }}_-}, {{\boldsymbol{\omega }}_ - }) $

3) 更新模型参数:

$ \begin{array}{l} {\boldsymbol{\varepsilon }} = {\boldsymbol{\varepsilon }} + {{\boldsymbol{\gamma }}_\varepsilon }\Delta {\boldsymbol{\varepsilon }}({J_ + }-{J_-}), \\ {\boldsymbol{\omega }} = {\boldsymbol{\omega }} + {{\boldsymbol{\gamma }}_\omega }\Delta {\boldsymbol{\omega }}({J_ + }-{J_ - }), \end{array} $ (5)

其中:$ {{\boldsymbol{\gamma }}_\varepsilon } = \{ {\gamma _\varepsilon }_{_1}, {\gamma _\varepsilon }_{_2}, \ldots, {\gamma _\varepsilon }_{_N}\} $$ {{\boldsymbol{\gamma }}_\omega } = \{ {\gamma _\omega }_{_1}, {\gamma _\omega }_{_2}, \ldots, {\gamma _\omega }_{_N}\} $是算法增益。

将更新后的$ {\boldsymbol{\varepsilon }} $$ {\boldsymbol{\omega }} $生成新的压电倾斜镜模型并与实测模型作差,得到新的性能指标J

4 实例与分析

下面以一个口径为250 mm的压电倾斜镜为例,检验上述方法的有效性。该压电倾斜镜由中国科学院光电技术研究所研制完成,为保证镜面在高速摆动过程中的面型,采用了一个口径为250 mm×30 mm的实心镜面,以保证系统的刚性。

为了准确辨识压电倾斜镜模型,需要准确获得压电倾斜镜对各个不同频率的实际响应,值得注意的是这个实际响应不仅包括压电倾斜镜本身,还包括高压驱动器、探测器曝光延时和处理机的计算延时等各个部分对不同输入频率的响应。因此,首先建立倾斜镜的系统光路,如图 1所示,入射光经压电倾斜镜后聚焦于高速CCD上,控制器通过记录并计算CCD上光斑质心位置获得当前输入光束的实际光轴方向。与其他文献中采用两个倾斜镜(一个作为输入扰动源,另一个作为被测对象)的检测方法不同,我们的检测方法中只采用了单一的检测镜,该镜同时作为扰动镜和检测镜,减少了一面扰动镜,一方面减少了系统的复杂性,便于在实际光路中使用;另一方面,也减少了另一面大口径压电快反镜谐振位置对被测镜的测量影响。

图 1 用于辨识压电倾斜镜系统模型光路结构示意图 Fig. 1 Optical structure for piezoelectric fast-steering mirror system identification

为了获得被测压电倾斜镜对不同频率的响应,需要将正弦扫频信号i(幅度相同频率逐渐增加)直接输入到高压放大器(high voltage amplifier,HV)中,这时候控制器的输出e=i,r代表压电倾斜镜当前时刻的实际响应。

将系统的实际响应信号r做频谱变换,可以获得压电倾斜镜以及相应系统对不同输入频率的实际响应。如图 2所示,该倾斜镜的一阶谐振峰在接近300 Hz的位置,而后在500 Hz和700 Hz附近存在多个复杂谐振峰。

图 2 250 mm口径压电倾斜镜系统对不同频率的响应曲线 Fig. 2 Frequency response of piezoelectric fast-steering mirror with a 250 mm aperture

与文献[3]实际测量得到的倾斜镜响应曲线相比,新的压电倾斜镜在口径加大(从140 mm口径增加为250 mm)条件下,一阶谐振峰位置反而往后增加,从原来的250 Hz位置后移至接近300 Hz的位置,这对简单PI控制带宽的提高是有利的。然而,响应曲线的分布较先前镜子复杂,特别是500 Hz之后的结构,没有明显的双二阶振荡模型结构,无法直接通过拟合的方式给出系统的模型。

利用SPGD算法,对实测压电倾斜镜响应曲线进行辨识,分别设定了倾斜镜的谐振阶次为7和9,即式(3)的M=7和9。其中,设定阶次为7是根据实测曲线中存在明显的7个拐点确定的;阶次9的设定是因为模型中存在额外的两个隐性拐点,这两个隐性拐点被上述的7个显性拐点打破而无法明显的观察到。

为了加快SPGD的收敛速度,将参数中的振荡圆频率$ {\boldsymbol{\omega }} $参数的初始值设定为实测曲线中的峰谷值对应的频率,从图 2可以看到,将$ {\boldsymbol{\omega }} $设定在7个拐点的峰谷位置,同时设定隐性拐点的初始值为零。

经过1000次的迭代,给出了两个不同阶次辨识获得的模型的频率响应曲线,如图 3所示,与实测曲线相比,两种阶数所辨识获得的模型的频率响应曲线与实测曲线均具有很高的一致性,但是9阶次模型具有更高的模型精度,无论是曲线的整体分布或是局部的细节分布(如插图中500 Hz到700 Hz附近复杂曲线分布)。同时,观察辨识后的结果如表 1所示,各个零极点并不完全与曲线中的峰值吻合,特别是500 Hz后的辨识结果,与实测相应曲线的峰谷点所对应的频率并不一致,并且部分零极点无法通过直接观测曲线中的峰谷点进行确定,如序号为3的零极点。因此,辨识的结果表明,利用SPGD算法,不仅可以解耦各个谐振点之间的耦合关系,还可以确定出额外的隐性谐振点,从而准确地表述出系统。迭代结束后,7阶和9阶辨识模型的最终性能指标J分别为0.62和0.55。作为对比,还给出了利用Levy方法辨识的结果,如图 4所示,可以看到,Levy方法无法针对文章中的复杂模型进行准确的辨识,即使辨识采用的阶次继续增加,辨识结果并没有明显的改善。

图 3 辨识模型与实测模型对不同频率的响应曲线。(a) 7阶模型辨识结果;(b) 9阶模型辨识结果;(c) 7阶模型辨识局部细节;(d) 9阶模型辨识局部细节 Fig. 3 Frequency responses of identified model and detected models. (a) Identification of a 7th order model; (b) Identifi-cation of a 9th order model; (c) Local detail for the 7th order identification; (d) Local detail for the 9th order identification

表 1 9阶参数模型辨识结果 Table 1 Identification results for the 9th order model
序号 极点频率 零点频率 极点振荡因子 零点振荡因子
1 1261.6 2243.2 0.021 0.384
2 715.2 1337.4 0.192 0.464
3 710.0 1186.8 0.020 0.030
4 661.6 664.5 0.018 0.055
5 625.9 649.3 0.019 0.117
6 576.2 643.2 0.021 0.023
7 528.2 577 0.822 0.047
8 527.6 577 0.046 0.063
9 298.6 304 0.016 0.020

图 4 同样阶次条件下利用Levy方法辨识结果 Fig. 4 Identification result using Levy method with the same identified order

为了检验辨识的模型的准确性,进行了两个验证性实验,其一验证辨识模型的消谐振能力,其二,检验辨识模型对系统带宽的提高能力。首先,我们检验辨识获得的模型对压电倾斜镜的谐振消谐振效果。将辨识的模型求逆,获得该压电倾斜镜的消谐振模型,如果辨识的模型足够准确,那么将消谐振模型作为控制器,应该可以获得接近理想响应的系统响应曲线。将消谐振器加入到控制器中,利用消谐振器对输出到高压放大器的信号e进行滤波,而后将滤波后的信号输出到高压放大器,实测结果如图 5所示。可以看到,加入消谐振器后,系统响应接近纯时延响应系统,系统响应中幅值部分已经接近理想响应,在2000 Hz的范围内,曲线幅值的差异已经控制在±2 dB范围内,相位方面,由于消谐振器是无法直接进行相位消谐振,因此,系统仍然随频率增加存在明显的延时滞后,消谐振后的压电倾斜镜系统可以简单地视为一个惯性纯延时系统,便于后续的各种先进控制。

图 5 250 mm压电倾斜镜系统中消谐振后,系统的实测响应曲线 Fig. 5 Actual detected frequency response after resonant depression for the 250 mm piezoelectric fast-steering mirror

利用消谐振后的时延系统,比较了消谐振前后的压电倾斜镜闭环控制效果,此时,控制器的输出e=i-r,观测消谐振前后系统的输出响应。图 6给出的是消谐振前后,系统控制带宽的实测结果。可以看到,消谐振后,原有压电倾斜镜的误差带宽获得明显的提高,在相同超调量条件下,闭环误差带宽从原来的105 Hz提高到接近210 Hz。

图 6 消谐振前后闭环误差控制曲线。(a)未消谐振闭环误差曲线;(b)消谐振后闭环误差曲线 Fig. 6 Close loop of the FSM before and after resonant depression. (a) Close loop of the FSM without resonant depression; (b) Close loop of the FSM with resonant depression

这种提升的原因是,去除PZT倾斜镜的谐振点将原来在压电倾斜镜谐振频率附近及其后续的闭环误差收益进行了重新分配,将其集中到200 Hz以内,从而在200 Hz范围内获得更佳的闭环误差收益。我们通过观测图 2图 5在100 Hz位置的相位延时可以检验上述的分析,消谐振前相位延时为32°,消谐振后相位延时下降为180°-156.6°=23.4°,消谐振后的响应曲线在200 Hz以前具有较小的相位延时,因而总体闭环带宽明显提高。

值得注意的是,我们还发现消谐振后的误差控制曲线在500 Hz至700 Hz附近起伏较大,这说明辨识曲线参数离散化后在实际运用时仍然存在一定的误差,但是这种误差的起伏量并不影响系统闭环的稳定性以及闭环误差带宽,因此没有必要再通过增加辨识模型的阶次减少误差曲线的起伏量。

利用消谐振前后的控制曲线,仿真对比了两者对抖动的校正能力。将这两个控制器分别对同一组实测光束抖动进行抑制,抖动抑制前后光斑质心分布见图 7图 8

图 7 输入测试抖动随时间的变化曲线 Fig. 7 The curl of input jitter against time

图 8 消谐振前后倾斜镜校正残差分布 Fig. 8 Residual jitter error with and without resonant depression

图 7给出的是输入抖动时间分布曲线,图 8给出的是消谐振前后抖动抑制残差随时间的分布曲线。输入抖动幅度的RMS值为11.6 μrad,经过未消谐振的抖动校正后,输出残差RMS值仍然有7.9 μrad;然而,经过消谐振后的抖动校正后,残余抖动幅值的RMS值下降3.5 μrad,抖动幅度得到明显抑制。

从控制后的频谱分布图 9可以看到,未经过消谐振的控制方法在80 Hz以后基本没有明显的收益,并在100 Hz以后对输入频谱起放大作用;而经过消谐振后的校正方法,在100 Hz~200 Hz位置仍然有明显的收益,并且只对300 Hz以后的频谱分布有放大作用。图 9(b)则给出了两种控制方法的频谱积分曲线,经过消谐振后的控制方法明显优于未消谐振的控制方法。

图 9 (a) 输入抖动频谱分布和校正后残余抖动频谱分布;(b)积分功率谱曲线 Fig. 9 (a) Power spectrums of input jitter and residual jitter error; (b) Power spectrum integral of (a)

从校正结果还发现,虽然经过对PZT倾斜镜谐振点的抑制,我们获得了明显的控制效果,但是,在35 Hz和200 Hz位置校正后残余像差仍然较大,特别是200 Hz位置,还存在一定程度的放大,为了提高光斑抖动抑制效果,需要进一步针对35 Hz和200 Hz的抖动进行控制。

既然输入的光斑抖动也是由于某些机械部件引起的,这种抖动也应该可以采用双二阶振荡模型进行拟合,结合前面已经实现的对PZT倾斜镜模型的辨识,我们重新构建出新的系统误差控制曲线,如图 10所示。新的频谱抑制曲线在35 Hz和200 Hz位置加强了对抖动的抑制,其中200 Hz点的抑制能力提高到5 dB。利用新构建的抖动控制器,对同样的输入光束抖动进行抑制,抑制后的抖动幅度进一步下降,如图 11(b)所示,35 Hz和200 Hz的抖动被明显的抑制,输出光束的抖动残差RMS进一步下降为2.3 μrad。

图 10 含输入抖动频谱成分的系统误差控制曲线 Fig. 10 The close loop of the FSM considering input jitter spectrum

图 11 将入射抖动频谱进行辨识后结合PZT倾斜镜模型进行抖动抑制效果。(a)输入抖动频谱分布和校正后残余抖动频谱分布;(b)积分功率谱曲线 Fig. 11 The effect of jitter control combining identification of PZT-FSM and input jitter spectrum. (a) Power spectrum of input jitter and residual jitter error; (b) Corresponding power spectrum integral of (a)
5 小结

利用SPGD算法,准确辨识了大口径压电倾斜镜系统模型,并利用辨识模型实现的谐振消除和闭环误差带宽提升工作,实验结果验证了基于SPGD算法的系统辨识的准确性。准确的辨识出PZT倾斜镜的模型后,对于使用自适应滤波控制,LQG(linear quadratic gaussian)控制也十分有意义,通过与各种先进控制方法相结合,可以实现对特定谐振频率点在线辨识与校正,这些工作将在后续的工作中进一步开展研究。

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